LE CHAMEAU MANQUANT Trois fils héritent d'un troupeau de dix-sept chameaux. Le premier fils hérite de la moitié du troupeau, le deuxième du tiers et le troisième du neuvième. Comment peut-on partager le troupeau sans découper de chameau ?

Le patriarche bédouin Mustapha ibn Mokhta avait défendu, avec l'aide d'Allah, sa petite tribu contre son féroce rival. Hélas, il avait été mortellement blessé dans le combat et il gisait, inconscient, sur le champ de bataille couvert de morts et où tombait la nuit. Son ami de toujours, Ali le barbier, l'identifia, soigna ses blessures et le fit transporter sur des dizaines de kilomètres à travers le désert du Nord de l'Arabie, jusqu'à leur camp.
Mustapha revint à lui, entouré de ses épouses, fils, filles et petits-enfants.
- Allah est grand, je suis encore en vie, dit-il dans un soupir. Je dois retourner combattre. Le malheureux pouvait à peine soulever la tête.
- Je t'en prie, repose-toi, mon seigneur et maître, le supplia sa première femme, le réconfortant de l'eau tirée d'une outre en peau de chèvre. Tu as conduit ta tribu à la victoire. Comment te sens-tu ?
- Comme si plus de 1.000 chameaux m'avaient piétiné, gémit Mustapha. Qui m'a sauvé ?
- Ali le barbier, répondit sa première femme.
- Faites-le venir !
Son premier fils partit chercher Ali.
Ali, comme d'ordinaire, était occupé à tailler les barbes des Bédouins qui ne se la taillent pas eux-mêmes et se demandait qui taillerait la sienne. Apprenant que Mustapha avait repris connaissance, il courut voir son amical suzerain.
Ali pénétra dans la tente de Mustapha.
- Salaam aleikum. Vous me semblez beaucoup mieux.
- Aleikum salaam. Grâce à toi et à Allah, j'ai eu le bonheur de voir ma famille une fois encore. Hélas, mon pauvre corps est irrémédiablement brisé et la mort ne se fera pas attendre.

Il écarta d'un geste les protestations de son ami. Inutile de s'apitoyer. Je désire te parler de la manière dont je dois diviser ma fortune entre mes trois fils. Je les aime beaucoup, mais ils n'ont pas l'esprit très vif. Je pense qu'avant d'hériter de quoi que ce soit, ils devraient faire preuve de leurs qualités intellectuelles.
Ali semble perplexe.
- Je ne saisis pas, Mustapha.
- Parmi mes trésors, il y a un vieux traité d'arithmétique qui viendrait, dit-on, du grand Al-Khowarizmi lui-même. Il traite d'un riche marchand qui possédait 17 chameaux. Il avait décidé qu'à sa mort son fils aîné aurait la moitié de son troupeau, son deuxième fils un tiers et son troisième un neuvième.
- J'ai souvenir d'un tel casse-tête. Bien sûr, cela n'a pas de sens d'offrir à son aîné huit chameaux et demi.
- Pas plus qu'au plus jeune un et huit neuvièmes. Il y a une astucieuse solution au problème. T'en souviens-tu ?
- Oui, je me la rappelle. Un vieux sage apporte un chameau supplémentaire, portant le total à 18. L'aîné des fils prend alors la moitié de ce nombre, soit neuf chameaux ; le second fils un tiers, soit six chameaux, et le plus jeune un neuvième, soit deux chameaux. Tout cela fait 17 chameaux. Ensuite le sage récupère le chameau qu'il a prêté et tout le monde est satisfait, d'autant que les trois fils ont plus que ce qu'on leur a promis.
- Certes, et la connotation psychologique de l'énigme est presque aussi fascinante que sa mathématique.
- Mais, Mustapha, vous avez plus de 17 chameaux.
- Certes. Trente-neuf sous la bénédiction d'Allah. De plus j'ai promis à mon père, sur son lit de mort, de ne jamais vendre un chameau. Il n'est pas possible d'en réduire le nombre à 17. Bien sûr, il serait facile d'emprunter quelques chameaux supplémentaires si cela se révélait nécessaire. La question à laquelle je ne sais répondre est : existe-t-il d'autres ensembles de nombres pour lesquels la technique d'emprunt et de restitution fonctionne ?
- On peut toujours tripler, dit Ali, en partant de 51 chameaux, en empruntant 3 chameaux et en utilisant les mêmes fractions pour le partage.
Mustapha secoua la tête et grimaça de douleur.
- J'ai bien pensé à cela, Ali, mais il faut que le sage nous prête trois chameaux supplémentaires. Cela manque d'élégance.
Ali caressa sa barbe.
- Ainsi la question subsiste : quels autres nombres de chameaux se comportent-ils de cette curieuse manière ?
- Oui. J'aimerais bien assigner à chaque fils une certaine fraction appropriée au total, qui permettrait l'ajout puis le retrait, d'un seul chameau supplémentaire.
Ali se renversa en arrière et sourit.
- Les nombres, Mustapha, ont toujours été ma spécialité. Je me demande ...

Son regard se perdit dans l'espace pendant quelques secondes. Par la grâce d'Allah, continua-t-il, il y a peut-être une manière mais nous devons d'abord comprendre comment l'astuce initiale fonctionne.
Mustapha se gratta la tête.
- J'avoue être embarrassé. Le chameau salvateur apparaît et disparaît comme un génie d'une lampe à la mèche défectueuse.
- Ce doit être quelque rouerie des fractions particulières choisies, dit Ali. Avec 12 chameaux et des fils touchant un demi, un tiers et un sixième, cela ferait 6 chameaux pour l'aîné, 4 pour le second et 2 pour le cadet. Et aucun chameau supplémentaire n'est nécessaire ... Eurêka ! Je crois entrevoir un rai de lumière. Les trois fractions ne doivent pas avoir pour somme un, sinon un tel artifice ne marcherait pas, car tous les chameaux seraient répartis sans qu'il en reste un seul. Voyons, que vaut la somme 1/2 + 1/3 + 1/9 ?
- Ah, 17/18, dit Mustapha. Bien sûr ! Les fils n'héritent que des 17/18 du nombre total de chameaux. Si ce total est 17, on ne peut le diviser exactement, mais si le total est 18 chacun reçoit une partie de 18 et il reste un chameau.

Une idée le traversa soudain. Ce sage loueur de chameaux était-il vraiment un homme sage ? Il ne fit jamais remarquer à quiconque que la somme des fractions n'était pas égale à un !
- C'est au contraire dans cette discrétion que siège sa sagesse, affirma Ali. L'astuce fonctionne, car la somme des trois fractions assignées aux fils est une fraction dont le numérateur est inférieur d'une unité au dénominateur, dit il. Ici le numérateur est 17 et le dénominateur 18.
Un large sourire illumina son visage.
- Il y a beaucoup de telles fractions. Pour tout entier d supérieur à 1, on peut choisir pour somme (d-1)/d ... J'y suis ! Vous avez 39 chameaux, n'est-ce pas ?
- Oui.
- Alors, tout ce que nous avons à faire est de choisir trois fractions de somme 39/40, dit Ali. Par exemple : 1/2, 1/4 et 9/40.
Il se retourna triomphalement, mais son enthousiasme fut de courte durée.
- Il semble que cela vous laisse froid, Mustapha ?
- Cette solution manque de simplicité, Ali. Chaque fraction doit être de la forme un sur quelque chose. Un sur trois, ou 1 sur 19. Et non 9 sur 40.
- Ah, vous désirez des numérateurs égaux à un ?
- Précisément.
- En bref, vous recherchez une solution, en nombres entiers, de l'équation 1/a + 1/b + 1/c = (d-1)/d .Vous voulez exprimer (d-1)/d comme somme de trois inverses. Les Egyptiens utilisèrent souvent des fractions sommes d'inverses ; aussi la somme de 1/a , 1/b et 1/c est-elle dénommée fraction égyptienne.
- J'ai trouvé une manière de simplifier ton équation dit le patriarche. Et il écrivit :

Ali se frappa les cuisses de plaisir.
- Ainsi, si a = 2, b = 3 et c = 9, alors d doit être 18, puisque 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 = 1 - 1/18. Il nous reste à trouver une autre solution à votre 4-équation égyptienne : trouver quatre entiers dont un soit la somme des inverses.
Les sourcils de Mustapha se froncèrent.
- Je vois pour le moins une autre solution, dit-il : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1. Et au-delà ? - Nous devons trouver toutes les solutions de votre équation ?
Ali saisit un morceau de papier.
- C'est un sujet délicat, ce que les mathématiciens appellent une équation diophantienne, c'est-à-dire une équation qui doit se résoudre uniquement à l'aide d'entiers. De fait, dans ce cas, d'entiers positifs. De telles équations furent étudiées par Diophante d'Alexandrie autour du III^ème siècle de notre ère.

Mustapha se tourna péniblement dans son lit pour apaiser ses douleurs. Ne serais-tu pas trop ambitieux, Ali, en cherchant toutes les solutions ? Il peut y en avoir beaucoup !
- En général, les équations diophantiennes n'ont pas énormément de solutions, répondit Ali, encore qu'il y ait des exceptions. Et, dans ce cas ...
Il commença à griffonner sur le papier.
- Je pense pouvoir prouver qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions. De plus, cette preuve nous permet de les trouver toutes, et de manière systématique. Parmi elles, peut-être s'en trouvera-t-il une qui vous conviendra. Supposons que les nombres a, b, c, d rangés par ordre croissant, soient a ≤ b (a est inférieur ou égal à b) et b ≤ c ≤ d; alors a est, au plus, égal à 4. En effet, si a est supérieur ou égal à 5, alors b, c et d valent aussi au moins 5, et la somme des inverses ne saurait être 1, puisqu'elle serait inférieure ou égale à 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 4/5.
Mustapha était perplexe : En quoi cela nous aide-t-il ?
- Nous savons aussi que chacun des nombres est au moins égal à 2, sinon la somme commencerait pas 1/1 = 1 et serait nécessairement supérieure à 1. Il n'y a donc que trois cas à envisager pour a : 2, 3 ou 4. Si a = 2, l'équation devient : 1/2+ 1/b + 1/c + 1/d = 1.
Il simplifia un peu cette équation et celle des autres cas. Elles devenaient : la somme 1/b + 1/c + 1/d doit valoir 1/2 si a = 2 ; 2/3 si a = 3 et 3/4 si a = 4
Mustapha paraissait désarçonné : Mais, Ali, tout ce que tu as fait est de remplacer une équation par trois équations !
- Oui, Mustapha, mais chacune est à trois variables au lieu de quatre initialement. Et, qui plus est, je peux répéter le même raisonnement sur ces équations. Ainsi pour la première d'entre elles, 1/b + 1/c + 1/d = 1/2, il est clair que b, qui vérifie b ≤ c ≤ d, ne saurait dépasser 6, sinon la somme vaudrait au plus 1/7 + 1/7 + 1/7 = 3/7, qui est inférieur à 1/2. De même, pour la seconde équation b vaut au plus 4 et, pour la troisième, b vaut encore au plus 4. Donc les trois cas, suivant la valeur de a, se subdivisent en un nombre fini de sous-cas en fonction des valeurs de b.
- Et alors, dit Mustapha tout excité, tu utilises le même artifice à nouveau !
- Précisément. Comme je l'ai dit, si 1/b + 1/c + 1/d = 1/2, alors b est au plus égal à 6. Et comme a = 2 et a ≤ b, on a b ≥ 2, mais b = 2 ne convient pas (la somme commence par 1/b = 1/2 et, donc, est trop grande), et donc b ≥ 3. Avec b = 3, il vient 1/3 + 1/c + 1/d = 1/2, soit 1/c = 1/d = 1/6.
- De laquelle, s'écria Mustapha, nous déduisons que c est au plus 12, puisque 1/13 + 1/13 = 2/13, qui est inférieur à 1/6.
- Exactement. Et cela donne un nombre fini de sous-cas pour c et, pour chacun d'eux, une unique valeur de d, que nous pouvons calculer exactement. Par exemple, si a = 2, b = 3 et c = 11, alors d doit vérifier 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/d = 1, d'où d = 66/5. Comme d n'est pas entier, il n'y a pas de solutions avec a = 2, b = 3 et c = 11. En revanche, si a = 2, b = 3 et c = 10, alors 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/d = 1 et si seulement si d = 15. Il y a cette fois une solution. Sous forme générale, pour a, b et c choisis, il n'y aura une solution que si d est entier. Mieux encore, le même argument s'applique à toute équation de la forme 1/a + 1/b + ... + 1/z = p/q, ou p et q sont des entiers positifs donnés et a, b, ..., z des entiers positifs cherchés. Il n'y a donc qu'un nombre fini de manières d'écrire une fraction quelconque donnée en fraction égyptienne à nombre de termes fixé, et toutes les solutions peuvent s'obtenir par une suite de déductions simples.
Mustapha toussa, puis cracha du sang.
- Il semblerait que tu aies prouvé un théorème très général, Ali.
- Précisément. A présent, accordez-moi quelques instants pour que je calcule toutes les solutions de votre équation.
Ali écrivit avec fougue (voir le tableau ci dessous).
- Je trouve exactement 14 solutions différentes et, à présent, la manière de partager entre vos fils saute aux yeux, fit remarquer Ali. La toute première solution est 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1. Mustapha, si vous possédiez 41 chameaux, vous pourriez décréter que votre fils aîné hériterait de la moitié du troupeau, votre second fils du tiers et le troisième d'un septième. Si, alors, vous mourez, qu'Allah ne le permette, ils devront trouver un 42^ème chameau pour satisfaire vos volontés. Alors l'aîné recevra 21 chameaux, le second 14 et le troisième 6.
Le mourant étreignit les mains du barbier.
- Ali, tu as répondu à mes vœux. Il ne me reste qu'à acquérir deux autres chameaux. Que les termes du partage soient rédigés sur-le-champ...
Une rumeur s'amplifia à l'extérieur de la tente. Soudain un petit garçon fit irruption. Le patriarche le fixa d'un regard ferme, mais doux.
- Oui, Hamid ? Est-il dans tes habitudes d'approcher le chef de ta famille d'une aussi brusque façon ? - Pardonnez-moi, maître Mustapha ibn Mokhta. Votre troisième femme, Fatima, vient de vous donner un fils ! Votre quatrième fils !.

Ce texte est extrait de l'excellent livre L'univers des nombres de Ian Stewart aux Éditions Belin - Pour la science il ne vous reste plus qu'à vous mettre dans la peau d'Ali et de relever ce nouveau défi. Ne trainez pas, reprenez le raisonnement du brave Ali et n'oubliez pas que Mustapha ibn Mokhta, n'a plus que quelques heures à vivre. La naissance de son quatrième fils lui a provoqué une violente émotion !